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Supersymmetrische Feldtheorien


Supersymmetrische Feldtheorien sind wesentlicher Bestandteil fast aller physikalischen Modelle jenseits des Standardmodells und spielen eine entscheidende Rolle in der modernen Quantenfeldtheorie. Interessante und vielbeachtete Resultate über stark gekoppelte Eichtheorien mit erweiterter Supersymmetrie, zum Beispiel die Seiberg-Witten-Lösung für die N = 2-Eichtheorie oder die von Maldacena vorgeschlagenen Dualitäten zwischen superkonformen Eichtheorien und Supergravitationstheorien im AdS-Raum, führten zu neuen und überraschenden Einsichten in das ungelöste Confinement-Problem. Ähnlich beeindruckende Resultate über die Äquivalenz von scheinbar verschiedenen supersymmetrischen Modellen beruhen auf der Mirrorsymmetrie (einer Variante der T-Dualität von Stringtheorien) für Modelle mit N = 2-Supersymmetrie auf der Weltfläche.

In diesen prominenten Beispielen spielt Supersymmetrie eine doppelte Rolle: Sie ermöglicht es, eine äquivalente Beschreibung der Theorien in dualen Variablen zu finden, und sie schützt bestimmte Größen (wie BPS-Zustände und Superpotentiale) vor Strahlungskorrekturen. Diese Nicht-renormierungstheoreme ermöglichen es auch in vielen anderen Fällen, starke Aussage über das Verhalten der Theorien bei niedrigen Energien zu machen (im Falle der Seiberg-Witten-Theorie beispielsweise lässt sich das effektive Potential exakt bestimmen).

Stand der Forschung

Kinetische D-Terme werden typischerweise nicht durch Supersymmetrie geschützt, ihre Renormierung lässt sich meist nur über störungstheoretische Rechnungen bestimmen. Diese sind in niedrigen Loop-Ordnungen bei schwacher Kopplung möglich und werden in der Arbeitsgruppe Quantenfeldtheorie in den unten beschriebenen Modellen auch durchgeführt.

Das Verhalten bei starker Kopplung lässt sich in physikalischen Modellen ohne S-duale Beschreibung nicht mehr störungstheoretisch analysieren. Einen systematischen Zugang bietet hier eine Gitterformulierung von supersymmetrischen Feldtheorien. Allerdings bricht eine naive Gitterregularisierung die Supersymmetrie, und bereits für einfache Modelle mit Wilson-Fermionen sind die Fermion- und Boson-Massen im Kontinuumslimes verschieden.

Es lassen sich aber Diskretisierungen mancher supersymmetrischer Kontinuumstheorien konstruieren, bei denen ein Teil der Supersymmetrie erhalten bleibt. Als einfache Modelle, die viele Eigenschaften mit höherdimensionalen Theorien teilen, wurden beispielhaft N = (2,2) -Wess-Zumino-Modelle in zwei Dimensionen untersucht. Die Konstruktionen beruhen auf der Existenz von Nicolai-Abbildungen (bei Theorien mit erweiterter Supersymmetrie sind diese lokal) oder der Beziehung zwischen supersymmetrischen Modellen und topologischen Feldtheorien . Exakte Gittertheorien in verschiedenen Dimensionen (im flachen Raum) und mit unterschiedlicher Anzahl von Supersymmetrien lassen sich unter bestimmten Bedingungen klassifizieren. Gitterformulierungen von Sigma-Modellen sind auch wegen ihrer Ähnlichkeit zur QCD zur Untersuchung von Confinement interessant.

Die Übertragung solcher Zugänge auf komplexere supersymmetrische Theorien und ein Vergleich der verschiedenen Gitterfermionen hinsichtlich ihrer Eignung fur supersymmetrische Theorien sind noch weitgehend unerforscht.

Eigene Vorarbeiten

Supersymmetrische Systeme sind zentrales Forschungsthema der Arbeitsgruppe Quantenfeldtheorie. Es wurden die Grundzustände zweidimensionaler Wess-Zumino-Modelle auf Raumgittern im schwachen und starken Kopplungslimes berechnet und bewiesen, dass für einen beliebigen Wert der Kopplungskonstante ihre Anzahl gleich der Anzahl im starken Kopplungslimes ist. Es wurden ausgedehnte analytische und numerische Studien über Wess-Zumino-Modelle mit erweiterter Supersymmetrie auf Raumzeit-Gittern durchgeführt. Ausgehend von einer Nicolai-Abbildung wurden Gittermodelle mit exakter Supersymmetrie konstruiert und simuliert. Die Brechung von Symmetrien wurde über die Verletzung von Ward-Identitäten gemessen. Fermion- und Bosonmassen wurden für verschiedene Arten von Gitterfermionen mit einer Genauigkeit bestimmt, wie sie für 4-dimensionale Eichtheorien in absehbarer Zeit unerreichbar bleiben werden. Dabei wurde u. a. ein Dirac-Operator mit nicht-standard Wilsonterm und cutoff-Effekten der Ordnung O(a2) konstruiert, der zu wesentlich genaueren Resultaten als der Standard-Wilson-Operator führt. Die kritisierte chirale und dopplerfreie SLAC-Ableitung führt in der Literatur wegen ihrer Nichtlokalität ebenfalls zu hervorragenden Resultaten.

Im vergangenen Jahr wurden in der Arbeitsgruppe Wess-Zumino-Modelle bei starker Kopplung untersucht und erste Studien zu CP1 -Modellen in verschiedenen Formulierungen angestellt. Bei den aufwändigen Simulationen mit dynamischen Fermionen, der dabei anfallenden Speicherverwaltung und Programmablaufsteuerung wurde die in Jena entwickelte objektorientierte Bibliothek jenLaTT erfolgreich eingesetzt.

Auf der analytischen Seite wurden diese Simulationen durch störungstheoretische Berechnungen der effektiven Wirkung (u. a. bei nichtkonvexen Potentialen) und der Massenquadrate gestützt. Zusätzlich konnte die Renormierbarkeit von Theorien mit der SLAC-Ableitung auf niedrigen Loop-Ordnungen gezeigt werden.

Ziele und Arbeitsprogramm

Bei den bisherigen Untersuchungen deutet sich an, daß das Nicolai-Improvement-Programm zur Konstruktion manifest supersymmetrischer Theorien auf dem Gitter für manche Fragestellungen (wie die Untersuchung der Einpunkt-Funktion eines Bosons in nichtkonvexen Potentialen mit entarteten Minima) bei starken Kopplungen Schwächen aufweist; hier ist eine Untersuchung von möglichen Alternativen geplant. Außerdem sollen Sigma-Modelle mit und ohne Supersymmetrie, das vierdimensionale Wess-Zumino-Modell und supersymmetrische Eichtheorien analytisch untersucht und simuliert werden. Fur CPn -Modelle mit minimal gekoppelten Fermionen ist die fermionische Determinante berechenbar. Dies soll auch für die supersymmetrischen Theorien geleistet werden. Anschließend sollen diese mit analytisch berechneter Determinante simuliert werden. Für Wilson-, Overlap- und SLAC-Fermionen sollen topologische Suszeptibilitaten, Kondensate, Massen und Ward-Identitaten, auch bei endlichen Temperaturen und Dichten, bestimmt werden. Die Quantenkorrektur der Targetraumgeometrien und insbesondere der analytisch schwer zugänglichen D-Terme sind hier von Interesse. Erste Vorstudien fur unterschiedliche Formulierungen dieser Modelle wurden in der Arbeitsgruppe angestellt.

Parallel zu den Simulationen soll mit Hilfe von exakten und supersymmetrischen Flussgleichungen, verbesserten Molekularfeldnäherungen und large-N -Entwicklungen die Phasen und Phasenübergänge von Thirring-, Gross-Neveu- und ausgewählten Sigma-Modellen untersucht werden. Für aussagekräftige Vergleiche mit den Kontinuumstheorien werden die Modelle unter Verwendung verschiedener Gitterfermionen auf bis zu 64 × 64 großen Gittern simuliert. Dem Problem sehr kleiner und im Pseudofermionkern vereinzelt auftretender Eigenwerte soll mit einer angepassten Implementierung moderner Varianten des HMC-Algorithmus begegnet werden. Die zu erwartende Laufzeitersparnis ist für Simulationen mit nicht ultralokalen Fermionen notwendig. Dazu wird die am Lehrstuhl verwendete jenLaTT-Programmbibliothek entsprechend erweitert.

Für die numerische Berechnung der Funktionalintegrale müssen Algorithmen zur Berechnung hochdimensionaler Integrale mit nicht-lokalen Integranden angepasst und optimiert werden. Dies soll auch in Zusammenarbeit mit den Kollegen des mathematischen Instituts geschehen.